A4紙的數學秘密：$\sqrt{2}$ 比例互動實驗 指南

概述

A4紙的尺寸（$297mm \times 210mm$）並非隨意的數字，它是數學之美與工業標準的完美結合。其背後的核心秘密在於 $\sqrt{2}$ 比例（銀色比例）。這種獨特的比例保證了紙張在不斷對半裁切的過程中，始終保持長寬比不變，形成完美的自相似性。

背景知識

背景知識

• 1786年：德國科學家 Georg Christoph Lichtenberg 在給友人的信中首次提出了 $\sqrt{2}$ 比例在紙張折疊中的優勢。
• 1922年：Walter Porstmann 將此概念制定為德國 DIN 476 標準，確立了A系列、B系列和C系列紙張尺寸。
• 1975年：該標準被正式採納為國際標準 ISO 216，目前被世界上絕大多數國家使用（北美地區除外）。

核心概念

公式與推導

實驗步驟

1. 1

   觀察全貌 (A0)

   實驗開始時，展示的是一張完整的A0紙。請注意它的面積是標準化的 $1m^2$。你能觀察到它的長邊和寬邊大概是什麼比例嗎？
2. 2

   第一次分割 (觀察形狀變化)

   點擊「Split」按鈕將A0對半切分為兩張A1。請仔細觀察：新生成的A1紙張，其長邊和寬邊的相對關係，看起來是否與原來的A0紙張非常相似？
3. 3

   遞歸分割 (尋找規律)

   繼續點擊「Split」，從A1切分到A2，再到A3、A4。隨著紙張變小，請關注右側控制面板中的「Aspect Ratio」（長寬比）數值。這個數值是否發生過明顯變化？
4. 4

   比例驗證

   持續分割紙張，觀察控制面板中的長寬比數值。無論分割到哪一級（直到A6），你發現了什麼規律？想一想，滿足什麼條件的比例才能實現這種「對折不變形」的效果？

學習目標

• 深入理解 $\sqrt{2}$ 比例在紙張尺寸標準化中的核心作用。
• 直觀感受幾何圖形的自相似性和遞歸分割過程。
• 理解為什麼影印機將 A3 縮印到 A4 時，圖像既不會被拉伸也不會留白。

生活應用

• 影印機縮放：將兩張 A4 紙的內容並排縮印到一張 A4 紙上，或者將 A3 縮印為 A4，縮放比例恰好是 $71\% (1/\sqrt{2})$，內容完美填充且不變形。
• 紙張重量計算：由於 A0 面積為 $1m^2$，如果紙張密度是 $80g/m^2$，那麼一張 A0 紙重 $80g$。一張 A4 是 A0 的 $1/16$，所以重量通過簡單的除法即可算出 ($5g$)，這對郵費計算非常便利。
• 工程繪圖與微縮攝影：技術圖紙的標準化縮放和存檔，依賴於這種長寬比的不變性。

常見誤區

延伸閱讀

• ISO 216 - 維基百科
• Paper Sizes Explained