Trực quan hóa Công thức Diện tích Hình tròn Hướng dẫn

Toán họcNgười mới bắt đầuThời gian đọc: 4 phút

Tổng quan

Bạn có bao giờ tự hỏi người xưa tính diện tích hình tròn như thế nào khi chưa có máy tính? Thí nghiệm này sẽ đưa bạn đi theo trí tuệ của Archimedes và Lưu Huy, sử dụng khái niệm giới hạn của 'phương pháp vét cạn' và sắp xếp lại để suy ra công thức tính diện tích hình tròn một cách trực quan. Chúng ta sẽ cắt một hình tròn thành vô số hình quạt nhỏ và sắp xếp lại chúng thành một hình dạng hình học quen thuộc, khám phá chân lý toán học từ những điều chưa biết.

Bối cảnh

Ngay từ thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Archimedes đã sử dụng 'Phương pháp vét cạn' để ước tính số Pi và diện tích hình tròn. Tại Trung Quốc, nhà toán học Lưu Huy thời Ngụy Tấn đã sáng tạo ra 'Cắt hình tròn' (Cát viên thuật), nói rằng "Cắt càng nhỏ thì phần mất đi càng ít. Cắt đi cắt lại cho đến khi không thể cắt được nữa, thì sẽ hợp nhất với chu vi và không còn mất mát gì". Cả phương pháp vét cạn của phương Tây và thuật cắt hình tròn của phương Đông đều sử dụng giới hạn để chuyển đổi các vấn đề đường cong thành các vấn đề đường thẳng để giải quyết.

Khái niệm chính

Bán kính (r)

r

Đoạn thẳng từ tâm hình tròn đến bất kỳ điểm nào trên chu vi của nó.

Chu vi (C)

C = 2\pi r

Độ dài đường bao quanh hình tròn. Chúng ta biết nó gấp $\pi$ lần đường kính.

Cắt hình quạt

\lim_{n \to \infty}

Chia hình tròn thành nhiều hình quạt nhỏ bằng nhau. Số lượng phần chia $n$ càng nhiều, cạnh cung của hình quạt càng gần với đường thẳng.

Sắp xếp lại (Hóa viên vi phương)

\text{Area}_{circle} = \text{Area}_{rectangle}

Một ý tưởng hình học cổ đại chuyển đổi hình tròn thành hình chữ nhật hoặc hình bình hành có diện tích bằng nhau thông qua việc cắt và sắp xếp lại.

Các bước thí nghiệm

1
Quan sát trạng thái ban đầu
Trong bảng điều khiển, đặt số lượng phần chia $n$ thành giá trị tối thiểu là $4$ . Quan sát xem hình tròn được chia thành bao nhiêu phần? Hãy tưởng tượng nếu các hình quạt này được sắp xếp xen kẽ, chúng sẽ tạo thành hình dạng gì?
2
Sắp xếp lại ban đầu
Nhấp vào 'Bắt đầu' hoặc kéo thanh trượt 'Sắp xếp lại'. Quan sát cách các hình quạt này di chuyển và khớp vào nhau. Lúc này hình dạng tạo thành trông như thế nào? Các cạnh có phẳng không?
3
Xấp xỉ vô hạn
Dần dần tăng số lượng phần chia $n$ , quan sát hiệu ứng khi $n=16, 32, 64$ . Khi $n$ tăng lên, điều gì xảy ra với các cạnh trên và dưới của hình dạng? Nó ngày càng giống với hình dạng hình học tiêu chuẩn nào?
4
Suy ra công thức
Khi $n$ đủ lớn, chúng ta có thể coi hình dạng này là một Hình chữ nhật. Hãy quan sát các nhãn: 1. Chiều cao của hình chữ nhật tương ứng với đại lượng nào của hình tròn? 2. Chiều rộng của hình chữ nhật bằng bao nhiêu phần của chu vi? Kết hợp với công thức diện tích hình chữ nhật $S = \text{Rộng} \times \text{Cao}$ , bạn có thể viết công thức tính diện tích hình tròn không?

Mục tiêu học tập

Hiểu khái niệm giới hạn trong việc suy ra diện tích hình tròn.
Nắm vững quy trình suy ra công thức diện tích hình tròn $S = \pi r^2$ .
Nhận ra rằng khi số lần cắt tăng lên, các cạnh của hình ghép lại trở nên thẳng hơn và sai số nhỏ hơn.
Trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học chuyển đổi các hình dạng hình học.

Ứng dụng thực tế

Định giá Pizza: Tại sao một chiếc pizza 12 inch lại lớn hơn hai chiếc pizza 6 inch cộng lại? (Diện tích tỷ lệ thuận với bình phương bán kính)
Đo đạc đất đai: Tính toán diện tích đáy của các kho thóc hình tròn để ước tính lượng ngũ cốc dự trữ trong nông nghiệp cổ đại.
Thiết kế kiến trúc: Tính toán lượng vật liệu sử dụng cho các tòa nhà hình tròn hiện đại (ví dụ: sân vận động, mái vòm).
Hình ảnh y tế: Chụp CT sử dụng nguyên lý tích phân (tương tự như ý tưởng giới hạn này) để tái tạo hình ảnh mặt cắt tròn của cơ thể người.

Sự hiểu lầm phổ biến

Sai

Hiểu lầm: Hình dạng được sắp xếp lại luôn có các cạnh lượn sóng và không thể là hình chữ nhật.

Đúng

Đính chính: Theo khái niệm giới hạn toán học, khi số lượng phần chia tiến tới vô cực, sự khác biệt giữa cung và dây cung của nó tiến tới 0, vì vậy ở trạng thái giới hạn, nó thực sự là một hình chữ nhật.

Sai

Hiểu lầm: Chiều rộng của hình chữ nhật là chu vi.

Đúng

Đính chính: Quan sát kỹ cách sắp xếp các hình quạt; các cạnh trên và dưới mỗi cạnh chiếm một nửa số hình quạt. Do đó, chiều rộng của hình chữ nhật chỉ là một nửa chu vi (

\pi r

), chứ không phải toàn bộ chu vi.

Đọc thêm

Sẵn sàng bắt đầu?

Bây giờ bạn đã nắm được kiến thức cơ bản, hãy bắt đầu thí nghiệm tương tác!

Bắt đầu thí nghiệm Bắt đầu trắc nghiệm