Dérivation de la Formule de l'Aire du Cercle Guide

MathématiquesDébutantTemps de lecture: 3 min

Aperçu

Vous êtes-vous déjà demandé comment les anciens calculaient l'aire d'un cercle sans ordinateur ? Cette expérience vous emmène à travers la sagesse d'Archimède et de Liu Hui, en utilisant le concept de limite de la « méthode d'exhaustion » et du réarrangement pour dériver visuellement la formule de l'aire du cercle. Nous découperons un cercle en une infinité de petits secteurs et les réorganiserons en une forme géométrique familière, découvrant la vérité mathématique à partir de l'inconnu.

Contexte

Dès le IIIe siècle av. J.-C., le mathématicien grec antique Archimède a utilisé la « Méthode d'Exhaustion » pour estimer Pi et l'aire d'un cercle. En Chine, le mathématicien Liu Hui des périodes Wei et Jin a créé la « Technique de la coupe du cercle » (Cyclotomie), déclarant : « Plus la coupe est fine, plus la perte est petite. Coupez encore et encore jusqu'à ce qu'on ne puisse plus couper, alors cela ne fera qu'un avec le cercle et aucune perte ne restera. » Les deux méthodes utilisent des limites pour transformer les problèmes de courbes en problèmes de lignes droites.

Concepts clés

Rayon (r)

r

Un segment de droite du centre du cercle à n'importe quel point de sa circonférence.

Circonférence (C)

C = 2\pi r

La distance autour du cercle. Nous savons que c'est $\pi$ fois le diamètre.

Découpage en secteurs

\lim_{n \to \infty}

Diviser le cercle en plusieurs petits secteurs congruents. Plus le nombre de divisions $n$ augmente, plus le bord de l'arc du secteur se rapproche d'une ligne droite.

Réarrangement

\text{Area}_{circle} = \text{Area}_{rectangle}

Une idée géométrique ancienne consistant à transformer un cercle en un rectangle ou un parallélogramme de même aire par découpage et réarrangement.

Étapes de l'expérience

1
Observer l'état initial
Dans le panneau de commande, réglez le nombre de secteurs $n$ à la valeur minimale de $4$ . Observez en combien de parties le cercle est divisé. Imaginez si ces secteurs étaient disposés en alternance, quelle forme formeraient-ils ?
2
Réarrangement initial
Cliquez sur « Démarrer » ou faites glisser le curseur « Réorganiser ». Observez comment ces secteurs se déplacent et s'emboîtent. À quoi ressemble la forme résultante ? Les bords sont-ils plats ?
3
Approximation infinie
Augmentez progressivement le nombre de secteurs $n$ , en observant les effets à $n=16, 32, 64$ . À mesure que $n$ augmente, qu'arrive-t-il aux bords supérieur et inférieur de la forme ? De quelle forme géométrique standard se rapproche-t-elle de plus en plus ?
4
Dériver la formule
Lorsque $n$ est assez grand, nous pouvons considérer cette forme comme un Rectangle. Observez les étiquettes : 1. À quelle dimension du cercle correspond la hauteur du rectangle ? 2. Quelle part de la circonférence représente la largeur du rectangle ? En combinant avec la formule de l'aire du rectangle $S = \text{Largeur} \times \text{Hauteur}$ , pouvez-vous écrire la formule de l'aire d'un cercle ?

Objectifs d'apprentissage

Comprendre le concept de limite dans la dérivation de l'aire du cercle.
Maîtriser le processus de dérivation de la formule de l'aire du cercle $S = \pi r^2$ .
Reconnaître qu'à mesure que le nombre de coupes augmente, les bords deviennent plus droits et l'erreur diminue.
Expérimenter le processus de modélisation mathématique transformant les formes géométriques.

Applications réelles

Prix de la pizza : Pourquoi une pizza de 12 pouces est-elle plus grande que deux pizzas de 6 pouces combinées ? (L'aire est proportionnelle au carré du rayon)
Arpentage : Calcul de l'aire de base des greniers circulaires pour estimer le stockage des céréales dans l'agriculture ancienne.
Architecture : Calcul de l'utilisation des matériaux pour les bâtiments circulaires modernes (ex : stades, dômes).
Imagerie médicale : Les tomodensitogrammes (CT scans) utilisent des principes intégraux (similaires à ce concept de limite) pour reconstruire des images transversales circulaires du corps humain.

Idées reçues

Erreur

Idée fausse : La forme réarrangée a toujours des bords ondulés et ne peut pas être un rectangle.

Correct

Correction : Sous le concept de limites mathématiques, à mesure que le nombre de coupes approche l'infini, la différence entre l'arc et sa corde approche zéro, donc à l'état limite, c'est strictement un rectangle.

Erreur

Idée fausse : La largeur du rectangle est la circonférence.

Correct

Correction : Observez la disposition des secteurs ; les côtés supérieur et inférieur occupent chacun la moitié des secteurs. Par conséquent, la largeur du rectangle n'est que la moitié de la circonférence (

\pi r

), et non la circonférence entière.

Lectures complémentaires

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