1. 黎曼积分定义中，将区间 $[a, b]$ 分割得越细（即 $n$ 越大），黎曼和 $S$ 通常会：
- A. 越来越大，趋于无穷
- B. 越来越小，趋于 0
- C. 越来越接近真实的定积分值
- D. 保持不变
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黎曼积分 - 随堂练习
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黎曼积分定义中，将区间 [a,b] 分割得越细（即 n 越大），黎曼和 S 通常会：
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检验你对定积分定义、黎曼和构造、分割细化、收敛行为以及误差分析的理解。
2. 对于一个单调递增的函数（如 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上），使用「左端点」近似计算出的黎曼和通常是：
- A. 真实积分值的下限（偏小）
- B. 真实积分值的上限（偏大）
- C. 准确等于真实值
- D. 无法判断
3. 定积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 在几何上表示：
- A. 曲线 $f(x)$ 的长度
- B. 曲线 $f(x)$ 与 $x$ 轴、$x=a$、$x=b$ 围成的有向面积
- C. 区间 $[a, b]$ 的长度
- D. 函数 $f(x)$ 在该区间的最大值
4. [判断] 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么它在该区间上一定是可积的。
- 正确
- 错误
5. 在黎曼积分的定义中，符号 $\int$ 源自于哪个单词的首字母变形？
- A. Sigma (Sum)
- B. Limit
- C. Integration
- D. Area
6. [计算] 如果 $\Delta x = 0.5$，区间是从 $0$ 到 $2$，那么一共划分了多少个子区间（$n$ 是多少）？
- A. $2$
- B. $4$
- C. $10$
- D. $1$
7. 下列哪种情况会导致黎曼和近似的误差变大？
- A. 增加分割数量 $n$
- B. 函数曲线变化非常平缓
- C. 函数曲线波动剧烈且 $n$ 很小
- D. 使用梯形法则代替矩形法则
8. 如果 $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$，且 $\int_{2}^{3} f(x) dx = 3$，那么 $\int_{0}^{3} f(x) dx$ 等于多少？
- A. $2$
- B. $8$
- C. $15$
- D. 无法计算