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探究單擺的週期與擺長的關係 指南

物理初級閱讀時間: 3 分鐘

概述

單擺是物理學中最簡單、最優美的週期運動模型之一。本實驗透過控制變量法，探究單擺週期與擺長、擺球質量、振幅之間的關係，驗證單擺週期公式 T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}，理解週期只與擺長有關的物理規律。

背景知識

單擺的研究始於伽利略。1583年，年僅19歲的伽利略在比薩大教堂觀察吊燈的擺動，用自己的脈搏計時，發現無論擺動幅度大小，每次擺動的時間似乎相等——這就是著名的「等時性」發現。後來，荷蘭物理學家惠更斯於1656年利用單擺的等時性原理發明了擺鐘，大大提高了計時精度，開啟了精確時間測量的新時代。單擺週期公式的嚴格推導則需要牛頓力學的建立。

核心概念

單擺

由一根不可伸長的輕質細線和懸掛在其下端的小球組成的理想化模型。線的質量和空氣阻力忽略不計。

週期

T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

擺球完成一次完整往復運動所需的時間，用符號 TT 表示，單位為秒(s)。

擺長

從懸掛點到擺球質心的距離，用符號 LL 表示，單位為公尺(m)。

小角度近似

sin⁡θ≈θ (當 θ<15°)\sin\theta \approx \theta \text{ (當 } \theta < 15° \text{)}

當擺角 θ\theta 較小時（通常小於 15°15°），sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta（弧度），此時單擺做簡諧運動，週期公式成立。

公式與推導

單擺週期公式

T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

週期與擺長的關係

T∝LT \propto \sqrt{L}

實驗步驟

  1. 1

    探究週期與擺長的關係

    保持質量（如 100 g100\ \text{g}）和角度（如 10°10°）不變，依次設置擺長為 0.25 m0.25\ \text{m}、0.50 m0.50\ \text{m}、1.00 m1.00\ \text{m}，釋放擺球並記錄測量週期。觀察：當擺長增大為原來的 4 倍時，週期如何變化？
  2. 2

    探究週期與質量的關係

    保持擺長（如 0.50 m0.50\ \text{m}）和角度（如 10°10°）不變，依次設置質量為 50 g50\ \text{g}、200 g200\ \text{g}、500 g500\ \text{g}，釋放擺球並記錄測量週期。觀察：改變擺球質量，週期是否發生變化？
  3. 3

    探究週期與振幅的關係

    保持擺長（如 0.50 m0.50\ \text{m}）和質量（如 100 g100\ \text{g}）不變，依次設置初始角度為 5°5°、10°10°、15°15°，釋放擺球並記錄測量週期。觀察：在小角度範圍內，改變振幅，週期是否發生明顯變化？
  4. 4

    驗證週期公式

    選擇一組參數（如 L=1.00 mL = 1.00\ \text{m}），用公式 T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} 計算理論週期，與模擬測量值對比。兩者是否吻合？

學習目標

  • 理解單擺週期只與擺長和重力加速度有關，與擺球質量和振幅無關
  • 掌握單擺週期公式 T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} 的應用
  • 學會使用控制變量法設計實驗，分別探究各因素對週期的影響
  • 理解小角度近似條件下單擺做簡諧運動的物理模型

生活應用

  • 擺鐘計時：傳統擺鐘利用單擺的等時性原理實現精確計時，透過調節擺長來校準時鐘快慢
  • 測量重力加速度：透過測量單擺週期和擺長，可以計算當地的重力加速度 g=4π2LT2g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}
  • 地震儀：早期地震儀利用長週期擺檢測地面的微小振動
  • 節拍器：音樂節拍器利用可調擺長的擺來產生穩定的節拍

常見誤區

誤區
擺球越重，週期越長
正解
單擺週期與擺球質量無關。雖然重的擺球受到更大的重力，但其慣性也更大，兩者效應相互抵消。
誤區
擺動幅度越大，週期越長
正解
在小角度（<15°< 15°）範圍內，單擺週期與振幅基本無關（等時性）。只有當擺角很大時，週期才會略微增大。
誤區
擺長是繩子的長度
正解
擺長是從懸掛點到擺球質心的距離，包括繩長加上擺球半徑（對於均勻球體）。

延伸閱讀

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