高爾頓板模擬器指南

數學高級閱讀時間: 3 分鐘

概述

面對無數隨機事件的疊加，結果真的是不可預測的嗎？高爾頓釘板（Galton Board）向我們展示了一個令人驚嘆的真相：無數個微小的隨機選擇（向左或向右）聚集在一起時，會自發地形成高度有序且穩定的「鐘形曲線」——即正態分佈。這就是統計學中著名的「中心極限定理」的視覺化直覺呈現。

背景知識

高爾頓釘板由英國通才弗朗西斯·高爾頓爵士（Sir Francis Galton）在 1889 年的名著《自然遺傳》（*Natural Inheritance*）中首次提出。高爾頓設計這個裝置是為了演示伯努力試驗（Bernoulli Trials）的累積結果如何演變成正態分佈。他驚嘆於這種從「宇宙的混亂」中自發產生的「秩序之美」，並將其視為一種普遍的自然法則。這一實驗不僅是統計學的基石，也解釋了為何人類的身高、考試成績以及各種測量誤差大多遵循這種對稱的分佈規律。

核心概念

伯努力試驗 (Bernoulli Trial)

P(\text{L}) = P(\text{R}) = 0.5

一種只有兩種可能結果（成功或失敗，向左或向右）的隨機試驗。在高爾頓釘板中，每個釘子都是一次獨立的試驗點。

二項分佈 (Binomial Distribution)

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

離散概率分佈。描述了在 $n$ 次獨立試驗中成功的次數。小球在底部的槽位分佈本質上就是二項性質的。

正態分佈 (Normal Distribution)

鐘形曲線。當試驗次數 $n$ 足夠大時，二項分佈會趨近於連續的正態分佈圖形。

中心極限定理 (CLT)

統計學的核心定理：大量相互獨立變量之和的分佈，在樣本量足夠大時趨於正態分佈。

公式與推導

正態分佈密度函數

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

其中

\mu

為平均值（曲線中心），

\sigma

為標準差（曲線寬度）。

實驗步驟

1
初始化物理參數
調整「釘子行數」和「小球總數」。如果釘子行數從 $10$ 增加到 $50$ ，你預測底部的槽位分佈會更加細膩還是更加雜亂？
2
微觀隨機觀察
點擊「開始掉落」。追踪一個小球的路徑。你會發現它在每個釘子處的跳動都是完全不可預測的。既然單個球亂跳，為什麼整體預測是可能的？
3
群體規律累積
當數百個球堆積後，觀察中間槽位的高度。為什麼落在邊緣槽位的小球數量如此稀少？請嘗試從概率角度解釋。
4
驗證理論擬合
開啟「顯示正態分佈曲線」。觀察實驗產生的虛框高度與紅色理論曲線的重合程度。樣本量越大，這種契合度是變好還是變壞？

學習目標

掌握隨機過程通過大量累積轉化為確定性統計規律的科學邏輯。
理清二項分佈演化為正態分佈（鐘形曲線）的數學路徑。
理解中心極限定理在解釋自然、社會以及科學測量現象中的普適性。
建立統計學的核心價值觀：尊重個體的隨機性，掌握群體的必然性。

生活應用

教育評估：大規模考試（如高考）的成績分佈通常呈現正態分佈。
工業質檢：機器生產零件的尺寸偏差規律，用於監控生產線的穩定性。
金融交易：模擬股價的微小波動規律（布朗運動的基礎模型）。
生物遺傳：解釋群體身高、智力等生理特徵的分佈機制。

常見誤區

誤區

既然分佈是中間高，那麼我手動扔一個球，它一定會落到中間區域

正解

錯誤。對於單個樣本，它落到任何地方都是可能的（隨機性），概率只是描述了它落在那裡的可能性。只有在「大量」小球的前提下，群體形狀才會顯現。

誤區

球連續向左跳了多次後，下次向右跳的幾率會變大

正解

錯誤。這是典型的「賭徒謬誤」。每一次彈跳都是獨立事件，不受之前歷史路徑的影響，概率始終是

50\%

。

準備好了嗎？

現在你已經了解了基礎知識，開始動手實驗吧！

開始實驗開始練習

概述