複利的力量：定投模擬指南

數學初級閱讀時間: 3 分鐘

概述

什麼是「複利」？愛因斯坦曾稱之為「世界第八大奇蹟」。本實驗將帶你深入探索這種神秘的力量。透過模擬每月固定金額的投入（定投），你將直觀地看到財富是如何隨著時間推移，從緩慢爬升演變為爆發式增長的。我們將重點對比「本金投入」與「複利增值」的博弈過程。

背景知識

複利的概念可以追溯到古巴比倫時代（約公元前

1700

年），當時的刻板記錄顯示了對牲畜和穀物債務計算複利的原始規則。一個著名的傳說——「棋盤上的麥粒問題」也揭示了類似的指數級增長：如果第一格放一粒麥子，後續每格翻倍，到第

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格將是人類無法生產的天量。複利正是這種數學力量在金融領域的體現，它利用時間作為加速器，將微小的種子轉化為巨大的財富森林。

核心概念

本金 (Principal)

你最初投入以及後續追加的資金。在本實驗中，它是你每月定額儲存的金額。

複利 (Compound Interest)

A = P(1 + r)^n

利滾利。不僅本金產生利息，每一期的利息在下一期也會作為本金繼續產生利息。增長隨時間呈指數級加速。

被動收入 (Passive Income)

在本模擬中指長期累積產生的利息收益。當複利產生的收益超過你的主動定投金額時，你就達到了財富增長的一個重要階梯。

公式與推導

年金終值公式

FV = C \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

這是定投最常用的計算公式。

FV

是終值，

C

是每期定投，

r

是每期利率，

n

是期數。

複利基本公式

A = P(1 + r)^n

描述單筆或分期資金在複利循環下的增值規律。

實驗步驟

1
設定儲蓄目標
在控制面板中調整「每月定投金額」。如果每月多存 $100$ 元，在 $30$ 年後會產生多大的終端財富差異？
2
模擬收益變動
調節「年化收益率」。對比 $2\%$ （穩健儲蓄）與 $10\%$ （長期基金）的曲線斜率。觀察為什麼哪怕只有 $1\%$ 的差異，在足夠的時間下也會導致巨大的結果差。
3
尋找財富臨界點
觀察圖表。深綠色代表「本金總額」，淺綠色代表「利息收益」。在你的設定下，哪一年利息收益會開始佔據總財富的 $50\%$ 以上？
4
捕捉爆發增長期
將「持續年限」拉至最長。對比最後 $5$ 年的增長額與前 $10$ 年的總和。你發現了複利的「後發優勢」嗎？

學習目標

透過數學公式 $A = P(1+r)^n$ 直觀理解指數級增長的威力。
掌握月度定投下的財富累積規律與利息佔比演變。
建立長期的財務規劃意識，理解時間在複利模型中的巨大槓桿作用。
學會分析不同收益率環境對長期目標達成的具體貢獻。

生活應用

養老金規劃：利用職業生涯幾十年的複利期，透過小額積累實現退休保障。
子女教育專項：儘早啟動低風險定投，平攤長時間跨度下的財務壓力。
資產配置：理解在不同經濟週期下，複利如何作為抗通膨的最有力武器。
信貸成本分析：反向理解複利如何讓長期債務（如信用卡逾期）變得難以負擔。

常見誤區

誤區

只有高收益率項目才值得複利投資

正解

錯誤。複利的三要素是本金、利率和時間。即使利率適中，只要時間足夠長，複利依然能產生巨大的確定性收益。

誤區

我晚開始 5 年，以後多投點錢就能補回來

正解

很難補回。因為時間在公式中是指數項，由於失去了前期的「複利種子」，後期需要數倍的本金投入才能追平早期的微小投入。

準備好了嗎？

現在你已經了解了基礎知識，開始動手實驗吧！

開始實驗開始練習

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