Định lý Pythagoras Hướng dẫn

Toán họcNgười mới bắt đầuThời gian đọc: 4 phút

Tổng quan

Định lý Pythagoras là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong lịch sử văn minh nhân loại. Nó tiết lộ một cách ngắn gọn và sâu sắc mối quan hệ định lượng giữa ba cạnh của một tam giác vuông: $a^2 + b^2 = c^2$ . Thí nghiệm này, thông qua "Chứng minh Sắp xếp lại" cổ điển (một biến thể của sơ đồ Chu Bễ Toán Kinh), cho phép bạn tận mắt chứng kiến cách diện tích được chuyển đổi và bảo toàn trong khi di chuyển các tam giác một cách linh hoạt. Bạn sẽ không còn phụ thuộc vào việc học vẹt, mà thực sự "nhìn thấy" sự đúng đắn của định lý này thông qua logic trực quan.

Bối cảnh

Lịch sử của định lý Pythagoras rất lâu đời. Ở Trung Quốc cổ đại, tác phẩm toán học sớm nhất "Chu Bễ Toán Kinh" đã ghi lại cuộc đối thoại giữa Thương Cao và Chu Công vào đầu thời Tây Chu, đề xuất trường hợp đặc biệt của "Gou 3, Gu 4, Xian 5", do đó nó còn được gọi là "Định lý Thương Cao". Ở Hy Lạp cổ đại, nhà toán học Pythagoras cũng độc lập phát hiện ra mối quan hệ này và cố gắng đưa ra một chứng minh hình học chặt chẽ. Truyền thuyết kể rằng sau khi chứng minh định lý, ông đã hy sinh một trăm con bò để ăn mừng, vì vậy nó thường được gọi là "Định lý 100 con bò" ở một số quốc gia. Định lý này là nền tảng của hình học và là cột mốc quan trọng đầu tiên cho nhân loại trong việc làm chủ sự kết hợp giữa số và hình.

Khái niệm chính

Tam giác vuông (Right Triangle)

Một tam giác có một góc là góc vuông ( $90^\circ$ ). Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền ( $c$ ), và hai cạnh còn lại được gọi là cạnh góc vuông ( $a$ và $b$ ).

Định lý Pythagoras (Pythagorean Theorem)

a^2 + b^2 = c^2

Tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng bình phương độ dài cạnh huyền.

Chứng minh Sắp xếp lại (Rearrangement Proof)

Một phương pháp chứng minh các mối quan hệ diện tích bằng cách cắt một hình học thành nhiều mảnh và sắp xếp lại chúng thành một hình khác mà không thay đổi tổng diện tích.

Công thức và diễn giải

Công thức Định lý Pythagoras

a^2 + b^2 = c^2

Bình phương của cạnh đáy

a

cộng với bình phương của chiều cao

b

bằng bình phương của cạnh huyền

c

Tính cạnh huyền

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Biết hai cạnh góc vuông, độ dài của cạnh huyền có thể được tìm thấy bằng cách lấy căn bậc hai.

Các bước thí nghiệm

1
Thiết lập Độ dài Cạnh
Điều chỉnh độ dài cạnh $a$ và $b$ trong bảng điều khiển. Quan sát sự thay đổi hình dạng của tam giác vuông và cách giá trị của cạnh huyền $c$ tự động cập nhật với hai cạnh.
2
Quan sát Bố cục Ban đầu
Có bốn tam giác vuông bằng nhau trên màn hình bao quanh một hình vuông lớn. Lưu ý khu vực trống ở giữa được bao quanh bởi cạnh huyền $c$ . Bạn nghĩ diện tích của nó nên được biểu thị như thế nào theo $c$ ?
3
Bắt đầu Tịnh tiến
Nhấp vào "Tiếp theo" và quan sát quỹ đạo của các tam giác. Chúng chỉ đang thay đổi vị trí; tổng diện tích của hình vuông lớn có thay đổi vào lúc này không?
4
Chứng kiến Bảo toàn Diện tích
Sau khi quá trình chuyển đổi hoàn tất, khu vực trống trung tâm ban đầu được sắp xếp lại thành hai hình vuông nhỏ. Độ dài cạnh của chúng tương ứng với $a$ và $b$ . So sánh bố cục hình học trước và sau khi thay đổi, bạn có thể suy ra tại sao $a^2 + b^2$ phải bằng $c^2$ không?

Mục tiêu học tập

Hiểu ý nghĩa đại số và nền tảng trực quan hình học của định lý Pythagoras
Nắm vững phương pháp tư duy chứng minh hình học sử dụng "Nguyên lý Bảo toàn Diện tích"
Áp dụng linh hoạt công thức $a^2 + b^2 = c^2$ để tính độ dài cạnh còn thiếu
Xây dựng trí tưởng tượng không gian và hiểu tác động của tịnh tiến hình dạng đối với bố cục

Ứng dụng thực tế

Xây dựng: Nhanh chóng xác định góc vuông của nền móng bằng quy tắc "3-4-5" tại công trường xây dựng
Điều hướng: Tính khoảng cách đường thẳng (khoảng cách Euclid) giữa hai điểm trong hệ tọa độ bản đồ bằng định lý Pythagoras
Đồ họa Máy tính: Phát hiện thời gian thực các ranh giới va chạm của đối tượng, hoặc tính khoảng cách truyền ánh sáng trong không gian 3D
Ổn định Kết cấu: Tính chiều dài an toàn của thang đặt dựa vào tường, hoặc sức chịu tải của giàn mái

Sự hiểu lầm phổ biến

Sai

Định lý Pythagoras áp dụng cho tất cả các tam giác

Đúng

Sai. Nó chỉ áp dụng cho "Tam giác vuông". Đối với tam giác nhọn hoặc tù, mối quan hệ giữa ba cạnh tuân theo Định lý Cosin:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Sai

Trong bất kỳ tam giác vuông nào,

a^2 + b^2

có luôn lớn hơn

c^2

không?

Đúng

Sai. Theo định lý,

a^2 + b^2

chính xác bằng

c^2

. Nếu bạn thấy chúng không bằng nhau, điều đó có nghĩa là tam giác đó chắc chắn không phải là tam giác vuông.

Đọc thêm

Wikipedia: Định lý Pythagoras

Sẵn sàng bắt đầu?

Bây giờ bạn đã nắm được kiến thức cơ bản, hãy bắt đầu thí nghiệm tương tác!

Bắt đầu thí nghiệm Bắt đầu trắc nghiệm