Bảng Galton Hướng dẫn

Toán họcNâng caoThời gian đọc: 4 phút

Tổng quan

Kết quả của vô số sự kiện ngẫu nhiên có thực sự không thể dự đoán được không? Bảng Galton (Galton Board) tiết lộ một sự thật đáng kinh ngạc: khi vô số lựa chọn ngẫu nhiên nhỏ (trái hoặc phải) tích tụ lại, chúng sẽ tự phát hình thành một 'đường cong hình chuông' có trật tự và ổn định cao — đó là Phân phối Chuẩn. Đây là một cách trình bày trực quan và sinh động về 'Định lý Giới hạn Trung tâm' nổi tiếng trong thống kê.

Bối cảnh

Bảng Galton lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà bác học người Anh Sir Francis Galton trong cuốn sách năm 1889 của ông mang tên *Natural Inheritance*. Galton đã thiết kế thiết bị này để chứng minh kết quả tích lũy của các Phép thử Bernoulli tiến triển thành Phân phối Chuẩn như thế nào. Ông đã kinh ngạc trước 'vẻ đẹp của trật tự' nảy sinh tự phát từ 'sự hỗn loạn vũ trụ' và coi đó là một quy luật tự nhiên phổ quát. Thí nghiệm này không chỉ là nền tảng của thống kê mà còn giải thích tại sao chiều cao của con người, điểm thi và các sai số đo lường khác nhau hầu hết đều tuân theo mô hình phân phối đối xứng này.

Khái niệm chính

Phép thử Bernoulli

P(\text{T}) = P(\text{P}) = 0.5

Một thí nghiệm ngẫu nhiên với đúng hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại, trái hoặc phải). Trong bảng Galton, mỗi chiếc đinh đại diện cho một điểm thử độc lập.

Phân phối Nhị thức

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

Phân phối xác suất rời rạc mô tả số lần thành công trong $n$ phép thử độc lập. Phân phối của các quả bóng trong các ngăn ở phía dưới về cơ bản là có tính chất nhị thức.

Phân phối Chuẩn

Còn được gọi là phân phối Gaussian hoặc đường cong hình chuông. Khi số phép thử $n$ đủ lớn, phân phối nhị thức sẽ tiệm cận với phân phối chuẩn liên tục.

Định lý Giới hạn Trung tâm (CLT)

Một định lý then chốt trong thống kê: sự phân phối tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên độc lập có xu hướng tiến tới phân phối chuẩn, bất kể phân phối ban đầu là gì.

Công thức và diễn giải

Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Trong đó

\mu

là giá trị trung bình (tâm) và

\sigma

là độ lệch chuẩn (độ rộng/độ phân tán) của đường cong.

Các bước thí nghiệm

1
Khởi tạo các thông số
Điều chỉnh 'Số hàng đinh' và 'Tổng số bóng'. Nếu số hàng đinh tăng từ $10$ lên $50$ , bạn dự đoán phân phối ở phía dưới sẽ trở nên chi tiết hơn hay lộn xộn hơn?
2
Quan sát ngẫu nhiên vi mô
Nhấp vào 'Bắt đầu'. Theo dõi đường đi của một quả bóng duy nhất. Bạn sẽ thấy sự nảy của nó ở mỗi chiếc đinh là hoàn toàn không thể đoán trước được. Vì các đường đi riêng lẻ là ngẫu nhiên, tại sao dự đoán tổng thể lại có thể thực hiện được?
3
Tích tụ các quy luật
Sau khi hàng trăm quả bóng tích tụ, hãy quan sát chiều cao của các ngăn ở giữa. Tại sao số bóng trong các ngăn ở mép lại ít như vậy? Hãy thử giải thích từ góc độ xác suất.
4
Xác minh sự phù hợp lý thuyết
Bật 'Hiển thị đường cong chuẩn'. Quan sát mức độ khớp của chiều cao các ngăn mô phỏng với đường cong lý thuyết màu đỏ. Sự phù hợp này tốt lên hay xấu đi khi kích thước mẫu tăng lên?

Mục tiêu học tập

Nắm vững logic khoa học về việc các quá trình ngẫu nhiên chuyển hóa thành các quy luật thống kê xác định thông qua sự tích lũy khổng lồ.
Làm rõ con đường toán học từ Phân phối Nhị thức tiến triển thành Phân phối Chuẩn (đường cong hình chuông).
Hiểu được tính phổ quát của Định lý Giới hạn Trung tâm trong việc giải thích các hiện tượng tự nhiên, xã hội và các phép đo khoa học.
Thiết lập các giá trị cốt lõi của thống kê: tôn trọng tính ngẫu nhiên của cá thể đồng thời nắm vững tính tất yếu của tập thể.

Ứng dụng thực tế

Đánh giá Giáo dục: Điểm số trong các kỳ thi quy mô lớn thường tuân theo phân phối chuẩn.
Kiểm soát Chất lượng Công nghiệp: Các mô hình sai lệch kích thước trong các bộ phận sản xuất được sử dụng để giám sát sự ổn định của dây chuyền sản xuất.
Giao dịch Tài chính: Mô phỏng quy luật dao động nhỏ của giá cổ phiếu (mô hình cơ sở của chuyển động Brown).
Di truyền Sinh học: Giải thích cơ chế phân phối các đặc điểm quần thể như chiều cao và trí thông minh.

Sự hiểu lầm phổ biến

Sai

Vì phân phối cao nhất ở giữa, nên nếu tôi thả một quả bóng, nó chắc chắn sẽ rơi vào một ngăn ở giữa.

Đúng

Sai. Đối với một mẫu thử duy nhất, nó có thể rơi vào bất cứ đâu (tính ngẫu nhiên); xác suất chỉ mô tả khả năng xảy ra. Quy luật chỉ xuất hiện với một số lượng quả bóng 'lớn'.

Sai

Nếu một quả bóng đã nảy sang trái nhiều lần liên tiếp, thì xác suất nó nảy sang phải ở lần tiếp theo sẽ cao hơn.

Đúng

Sai. Đây là 'Ngụy biện của người đánh bạc' điển hình. Mỗi lần nảy là một sự kiện độc lập, không bị ảnh hưởng bởi lịch sử trước đó; xác suất luôn duy trì ở mức

50\%

Đọc thêm

Wikipedia - Normal Distribution

Sẵn sàng bắt đầu?

Bây giờ bạn đã nắm được kiến thức cơ bản, hãy bắt đầu thí nghiệm tương tác!

Bắt đầu thí nghiệm Bắt đầu trắc nghiệm