ガルトンボードシミュレーターガイド

数学上級所要時間: 3 分

概要

無数のランダムな出来事が重なったとき、その結果は本当に予測不可能なのでしょうか？ゴルトンボード（Galton Board）は、驚くべき真実を明らかにします。無数の小さなランダムな選択（左か右か）が積み重なると、自発的に高度に秩序化され安定した「鐘形曲線」、すなわち正規分布が形成されます。これは、統計学における有名な「中心極限定理」を視覚的かつ直感的に表現したものです。

背景

ゴルトンボードは、イギリスの博学者フランシス・ゴルトン卿（Sir Francis Galton）によって、1889年の著書『自然な遺伝』（*Natural Inheritance*）で初めて紹介されました。ゴルトンは、ベルヌーイ試行（Bernoulli Trials）の累積的な結果がどのように正規分布へと進化するかを示すためにこの装置を設計しました。彼は「宇宙のカオス」から自発的に生まれるこの「秩序の美」に驚嘆し、それを普遍的な自然法則と見なしました。この実験は統計学の礎石であるだけでなく、人間の身長、試験のスコア、および様々な測定誤差がなぜ主にこの対称的な分布パターンに従うのかを説明しています。

基本概念

ベルヌーイ試行 (Bernoulli Trial)

P(\text{L}) = P(\text{R}) = 0.5

結果がちょうど2つ（成功か失敗か、左か右か）しかないランダムな試行。ゴルトンボードでは、各釘が独立した試行ポイントを表します。

二項分布 (Binomial Distribution)

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

離散確率分布。 $n$ 回の独立した試行における成功回数を表します。底部のビンにおける球の分布は、本質的に二項分布となります。

正規分布 (Normal Distribution)

ガウス分布または鐘形曲線とも呼ばれます。試行回数 $n$ が十分に大きい場合、二項分布は連続的な正規分布に近づきます。

中心極限定理 (CLT)

統計学における重要な定理：多数の独立したランダム変数の和の分布は、元の分布に関係なく正規分布に向かう傾向があります。

公式と導出

正規分布の確率密度関数

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

ここで

\mu

は平均（中心）、

\sigma

は曲線の標準偏差（幅/ばらつき）です。

実験手順

1
パラメータの初期化
「釘の段数」と「球の総数」を調整します。段数が $10$ から $50$ に増えた場合、底部の分布はより精細になるでしょうか、それとも乱雑になるでしょうか？
2
微視的なランダムの観察
「開始」をクリックします。1つの球の経路を追跡してください。各釘での跳ね返りは完全に予測不可能であることがわかります。個々の経路がランダムであるのに、なぜ全体の予測が可能なのでしょうか？
3
パターンの累積
数百個の球が蓄積した後、中央のビンの高さを観察してください。なぜ端のビンには球が少ないのでしょうか？確率の観点から説明を試みてください。
4
理論的適合の検証
「正規分布曲線を表示」をオンにします。シミュレーションされたビンの高さが赤い理論曲線とどのように一致するか観察してください。サンプルサイズが大きくなるにつれて、適合度は向上しますか、それとも低下しますか？

学習目標

ランダムなプロセスが膨大な蓄積を通じて、どのように決定論的な統計パターンへと変化するかという科学的論理を理解する。
二項分布から正規分布（鐘形曲線）への数学的経路を明確にする。
自然、社会、および科学的測定現象を説明する上での中心極限定理の普遍性を理解する。
個々のランダム性を尊重しつつ、集団的な必然性を把握するという統計学の核心的な価値観を確立する。

応用例

教育評価：大規模な試験（共通テストなど）のスコアは通常、正規分布に従います。
工業的な品質管理：製造された部品の寸法偏差のパターンは、生産の安定性を監視するために使用されます。
金融取引：株価の微細な変動のモデリング（ブラウン運動モデルの基礎）。
生物学的遺伝：身長や知能などの集団的形質の分布メカニズムの説明。

よくある誤解

誤解

分布は中央が最も高いため、球を1つ落とせば必ず中央のビンに入ります。

正解

間違いです。単一のサンプルについては、どこに落ちるかは予測できません（ランダム性）。確率は可能性を説明するだけです。パターンは「多数」の球がある場合にのみ現れます。

誤解

球が連続して数回左に跳ね返った場合、次は右に跳ね返る可能性が高くなります。

正解

間違いです。これは「ギャンブラーの誤謬」です。各跳ね返りは独立した出来事であり、過去の履歴に影響されません。確率は常に

50\%

のままです。

参考文献

Wikipedia - Normal Distribution

準備はいいですか？

基礎知識を理解したら、インタラクティブな実験を始めてみましょう！

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