Théorème de Pythagore Guide

MathématiquesDébutantTemps de lecture: 4 min

Aperçu

Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus célèbres de l'histoire de la civilisation humaine. Il révèle de manière concise et profonde la relation quantitative entre les trois côtés d'un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$ . Cette expérience, à travers la classique "Preuve par réarrangement" (une variante du diagramme de Zhou Bi Suan Jing), vous permet de voir de vos propres yeux comment l'aire est transformée et conservée tout en déplaçant dynamiquement les triangles. Vous ne dépendrez plus de la mémorisation par cœur, mais vous "verrez" vraiment la validité de ce théorème grâce à la logique visuelle.

Contexte

L'histoire du théorème de Pythagore est très ancienne. Dans la Chine ancienne, le plus ancien ouvrage mathématique "Zhou Bi Suan Jing" a enregistré un dialogue entre Shang Gao et le duc de Zhou au début de la dynastie des Zhou occidentaux, proposant le cas particulier de "Gou 3, Gu 4, Xian 5", c'est pourquoi il est également connu sous le nom de "Théorème de Shang Gao". En Grèce antique, le mathématicien Pythagore a également découvert indépendamment cette relation et a tenté de fournir une preuve géométrique rigoureuse. La légende raconte qu'après avoir prouvé le théorème, il a sacrifié cent bœufs pour célébrer, c'est pourquoi on l'appelle souvent le "Théorème des 100 bœufs" dans certains pays. Ce théorème est la pierre angulaire de la géométrie et la première étape majeure pour l'humanité dans la maîtrise de la combinaison des nombres et des formes.

Concepts clés

Triangle rectangle (Right Triangle)

Un triangle dans lequel un angle est un angle droit ( $90^\circ$ ). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse ( $c$ ), et les deux autres côtés sont appelés les cathètes ( $a$ et $b$ ).

Théorème de Pythagore (Pythagorean Theorem)

a^2 + b^2 = c^2

La somme des carrés des longueurs des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

Preuve par réarrangement (Rearrangement Proof)

Une méthode pour prouver les relations d'aire en coupant une figure géométrique en plusieurs morceaux et en les réarrangeant en une autre figure sans changer l'aire totale.

Formules et dérivation

Formule du théorème de Pythagore

a^2 + b^2 = c^2

Le carré de la base

a

plus le carré de la hauteur

b

est égal au carré de l'hypoténuse

c

Calcul de l'hypoténuse

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Connaissant les deux cathètes, la longueur de l'hypoténuse peut être trouvée en prenant la racine carrée.

Étapes de l'expérience

1
Régler les longueurs des côtés
Ajustez les longueurs des côtés $a$ et $b$ dans le panneau de commande. Observez le changement de forme du triangle rectangle et comment la valeur de l'hypoténuse $c$ se met à jour automatiquement avec les deux côtés.
2
Observer la disposition initiale
Il y a quatre triangles rectangles congruents sur l'écran qui entourent un grand carré. Notez la zone vide au milieu entourée par l'hypoténuse $c$ . Comment pensez-vous que son aire devrait être exprimée en termes de $c$ ?
3
Commencer la translation
Cliquez sur "Suivant" et observez la trajectoire des triangles. Ils changent simplement de position ; l'aire totale du grand carré a-t-elle changé à ce moment-là ?
4
Être témoin de la conservation de l'aire
Une fois la transformation terminée, la zone vide centrale d'origine est réorganisée en deux petits carrés. Les longueurs de leurs côtés correspondent respectivement à $a$ et $b$ . En comparant la disposition géométrique avant et après le changement, pouvez-vous déduire pourquoi $a^2 + b^2$ doit être égal à $c^2$ ?

Objectifs d'apprentissage

Comprendre la signification algébrique et le contexte intuitif géométrique du théorème de Pythagore
Maîtriser la méthode de pensée de la preuve géométrique utilisant le "Principe de conservation de l'aire"
Appliquer avec souplesse la formule $a^2 + b^2 = c^2$ pour calculer les longueurs des côtés manquants
Développer l'imagination spatiale et comprendre l'impact de la translation des formes sur la disposition

Applications réelles

Construction : Déterminer rapidement l'angle droit d'une fondation en utilisant la règle "3-4-5" sur un chantier de construction
Navigation : Calculer la distance en ligne droite (distance euclidienne) entre deux points dans un système de coordonnées cartographiques en utilisant le théorème de Pythagore
Infographie : Détection en temps réel des limites de collision d'objets, ou calcul de la distance de propagation de la lumière dans l'espace 3D
Stabilité structurelle : Calculer la longueur sûre d'une échelle placée contre un mur, ou la force de support d'une ferme de toit

Idées reçues

Erreur

Le théorème de Pythagore s'applique à tous les triangles

Correct

Incorrect. Il ne s'applique qu'aux "Triangles rectangles". Pour les triangles aigus ou obtus, la relation entre les trois côtés suit la loi des cosinus :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Erreur

Dans tout triangle rectangle,

a^2 + b^2

est-il toujours supérieur à

c^2

Correct

Incorrect. Selon le théorème,

a^2 + b^2

est exactement égal à

c^2

. Si vous trouvez qu'ils ne sont pas égaux, cela signifie que le triangle n'est certainement pas un triangle rectangle.

Lectures complémentaires

Wikipédia : Théorème de Pythagore

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