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Planche de Galton Guide

MathématiquesAvancéTemps de lecture: 3 min

Aperçu

Le résultat d'innombrables événements aléatoires est-il vraiment imprévisible ? La planche de Galton (Galton Board) révèle une vérité étonnante : lorsque de nombreux petits choix aléatoires (gauche ou droite) s'accumulent, ils forment spontanément une « courbe en cloche » hautement ordonnée et stable — la distribution normale. Il s'agit d'une présentation visuelle et intuitive du célèbre « théorème central limite » en statistique.

Contexte

La planche de Galton a été introduite pour la première fois par le polymathe britannique Sir Francis Galton dans son livre de 1889 *Natural Inheritance*. Galton a conçu cet appareil pour démontrer comment les résultats cumulatifs des épreuves de Bernoulli évoluent vers une distribution normale. Il était émerveillé par cette « beauté de l'ordre » surgissant spontanément du « chaos cosmique » et la considérait comme une loi universelle de la nature. Cette expérience n'est pas seulement une pierre angulaire de la statistique, elle explique aussi pourquoi la taille humaine, les résultats aux examens et diverses erreurs de mesure suivent majoritairement ce modèle de distribution symétrique.

Concepts clés

Épreuve de Bernoulli

P(G)=P(D)=0.5P(\text{G}) = P(\text{D}) = 0.5

Une expérience aléatoire avec exactement deux résultats possibles (succès ou échec, gauche ou droite). Dans une planche de Galton, chaque clou représente un point d'essai indépendant.

Distribution Binomiale

P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

Une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre de succès dans nn essais indépendants. La distribution des billes dans les cases en bas est essentiellement binomiale.

Distribution Normale

Aussi connue sous le nom de distribution gaussienne ou courbe en cloche. Lorsque le nombre d'essais nn est suffisamment grand, la distribution binomiale approche une distribution normale continue.

Théorème Central Limite (TCL)

Un théorème clé en statistique : la distribution de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes tend vers une distribution normale, quelle que soit la distribution d'origine.

Formules et dérivation

Fonction de densité de probabilité de la distribution normale

f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
Où μ\mu est la moyenne (centre) et σ\sigma est l'écart type (largeur/dispersion) de la courbe.

Étapes de l'expérience

  1. 1

    Initialisation des paramètres

    Ajustez le « nombre de rangées » et le « total des billes ». Si le nombre de rangées passe de 1010 à 5050, prévoyez-vous que la distribution au fond sera plus fine ou plus désordonnée ?
  2. 2

    Observation micro-aléatoire

    Cliquez sur « Commencer ». Suivez le trajet d'une seule bille. Vous constaterez que son rebond sur chaque clou est totalement imprévisible. Puisque les trajets individuels sont aléatoires, pourquoi une prévision globale est-elle possible ?
  3. 3

    Accumulation de modèles

    Une fois que des centaines de billes se sont accumulées, observez la hauteur des cases du milieu. Pourquoi y a-t-il si peu de billes dans les cases des bords ? Essayez d'expliquer d'un point de vue de probabilité.
  4. 4

    Vérification de l'ajustement théorique

    Activez « Afficher la courbe normale ». Observez comment la hauteur des cases simulées correspond à la courbe théorique rouge. L'ajustement s'améliore-t-il ou se dégrade-t-il à mesure que la taille de l'échantillon augmente ?

Objectifs d'apprentissage

  • Comprendre la logique scientifique de la façon dont les processus aléatoires se transforment en modèles statistiques déterministes par une accumulation massive.
  • Clarifier le chemin mathématique de la distribution binomiale à la distribution normale (courbe en cloche).
  • Apprécier l'universalité du théorème central limite pour expliquer les phénomènes naturels, sociaux et de mesure scientifique.
  • Établir les valeurs statistiques fondamentales : respecter l'aléatoire individuel tout en maîtrisant la nécessité collective.

Applications réelles

  • Évaluation éducative : Les scores aux examens à grande échelle suivent généralement une distribution normale.
  • Contrôle qualité industriel : Modèles d'écarts dimensionnels dans les pièces manufacturées utilisés pour surveiller la stabilité de la production.
  • Trading financier : Modélisation des micro-fluctuations des cours boursiers (base des modèles de mouvement brownien).
  • Génétique biologique : Explication du mécanisme de distribution des traits de population comme la taille et l'intelligence.

Idées reçues

Erreur
Puisque la distribution est la plus élevée au milieu, si je lâche une bille, elle tombera forcément dans une case du milieu.
Correct
Incorrect. Pour un échantillon unique, elle pourrait tomber n'importe où (aléatoire) ; la probabilité ne décrit que la vraisemblance. Le modèle ne surgit qu'avec un « grand » nombre de billes.
Erreur
Si une bille a rebondi vers la gauche plusieurs fois de suite, elle a plus de chances de rebondir vers la droite la prochaine fois.
Correct
Incorrect. C'est l'« erreur du parieur ». Chaque rebond est un événement indépendant, non affecté par l'histoire précédente ; la probabilité reste de 50%50\%.

Lectures complémentaires

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