A4纸的数学秘密：$\sqrt{2}$ 比例互动实验 指南

概述

A4纸的尺寸（$297mm \times 210mm$）并非随意的数字，它是数学之美与工业标准的完美结合。其背后的核心秘密在于 $\sqrt{2}$ 比例（银色比例）。这种独特的比例保证了纸张在不断对半裁切的过程中，始终保持长宽比不变，形成完美的自相似性。

背景知识

背景知识

• 1786年：德国科学家 Georg Christoph Lichtenberg 在给友人的信中首次提出了 $\sqrt{2}$ 比例在纸张折叠中的优势。
• 1922年：Walter Porstmann 将此概念制定为德国 DIN 476 标准，确立了A系列、B系列和C系列纸张尺寸。
• 1975年：该标准被正式采纳为国际标准 ISO 216，目前被世界上绝大多数国家使用（北美地区除外）。

核心概念

公式与推导

实验步骤

1. 1

   观察全貌 (A0)

   实验开始时，展示的是一张完整的A0纸。请注意它的面积是标准化的 $1m^2$。你能观察到它的长边和宽边大概是什么比例吗？
2. 2

   第一次分割 (观察形状变化)

   点击“Split”按钮将A0对半切分为两张A1。请仔细观察：新生成的A1纸张，其长边和宽边的相对关系，看起来是否与原来的A0纸张非常相似？
3. 3

   递归分割 (寻找规律)

   继续点击“Split”，从A1切分到A2，再到A3、A4。随着纸张变小，请关注右侧控制面板中的“Aspect Ratio”（长宽比）数值。这个数值是否发生过明显变化？
4. 4

   比例验证

   持续分割纸张，观察控制面板中的长宽比数值。无论分割到哪一级（直到A6），你发现了什么规律？想一想，满足什么条件的比例才能实现这种「对折不变形」的效果？

学习目标

• 深入理解 $\sqrt{2}$ 比例在纸张尺寸标准化中的核心作用。
• 直观感受几何图形的自相似性和递归分割过程。
• 理解为什么复印机将 A3 缩印到 A4 时，图像既不会被拉伸也不会留白。

生活应用

• 复印机缩放：将两张 A4 纸的内容并排缩印到一张 A4 纸上，或者将 A3 缩印为 A4，缩放比例恰好是 $71\% (1/\sqrt{2})$，内容完美填充且不变形。
• 纸张重量计算：由于 A0 面积为 $1m^2$，如果纸张密度是 $80g/m^2$，那么一张 A0 纸重 $80g$。一张 A4 是 A0 的 $1/16$，所以重量通过简单的除法即可算出 ($5g$)，这对邮费计算非常便利。
• 工程绘图与微缩摄影：技术图纸的标准化缩放和存档，依赖于这种长宽比的不变性。

常见误区

延伸阅读

• ISO 216 - 维基百科
• Paper Sizes Explained