複利的力量：時間的魔法指南

數學初級閱讀時間: 3 分鐘

概述

在財富增長的道路上，是「投入的金額」更重要，還是「投資的時長」更重要？本實驗透過對比兩位投資者——早起的小明（Early Bird）和勤奮的小紅（Diligent Bird）的不同策略，揭示了複利最核心的秘密：時間。你將透過這一數學模型，直觀感受到為何「儘早開始」是財務規劃中最強大的武器。

背景知識

複利常被稱為「世界第八大奇蹟」。一個經典的案例來源於美國國父班傑明·富蘭克林（Benjamin Franklin）。1790 年去世時，他在遺囑中向波士頓和費城各捐贈了

1,000

英鎊，但規定這筆錢必須在複利下運作

100

年和

200

年才能動用。到了 1990 年，當初的各

1,000

英鎊已增長至數百萬美元。富蘭克林用這個跨越兩世紀的實驗證明了：只要給複利足夠的時間，即使極小的本金也能創造驚人的財富。

核心概念

單利 (Simple Interest)

只對初始本金計算利息，利息不再產生利息。增長是線性的。

複利 (Compound Interest)

A = P(1 + r)^n

利滾利。不僅本金產生利息，每一期的利息在下一期也會作為本金繼續產生利息。它隨時間呈指數級增長。

定投 (Regular Contribution)

每隔固定的一段時間（如一年）投入固定金額的投資方式，利用時間跨度平攤風險並持續累積複利基數。

公式與推導

基本複利公式

A = P(1 + r)^n

A

為終值，

P

為本金，

r

為年複合收益率，

n

為年度投資時間。

年金終值公式（定投）

FV = C \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

C

為每年投入金額。這一公式計算的是連續多年定投後的資產總額。

實驗步驟

1
策略對比
觀察兩位投資者的設定：小明從 $20$ 歲開始投資，僅 $10$ 年就停止；小紅從 $30$ 歲開始一直堅持到 $60$ 歲。你認為誰最終會擁有更多財富？
2
調節核心變量
嘗試變動「年化收益率」。對比 $3\%$ （如穩健儲蓄）與 $10\%$ （如長期基金）在十年間的差異。當收益率提高時，兩人的差距是縮小了還是成倍擴大了？
3
捕捉曲線拐點
觀察圖表中的藍色（小明）和紅色（小紅）曲線。小明雖然只投入了很短的時間，但為什麼他的曲線斜率在後期依然能保持競爭優勢？
4
終局戰報分析
查看 $60$ 歲時的統計結果。比較兩人的「總投入」：小紅投入的本金是小明的幾倍？為了追平早開始的 $10$ 年，小紅付出了多大的額外代價？

學習目標

量化理解複利效應中「時間」變量對最終財富累積的決定性權重。
掌握複利及定投公式在個人財務規劃中的應用邏輯。
建立「及早開始」優於「後期重倉」的風險意識。
學會透過數學模型對比不同投資策略的長遠價值。

生活應用

個人養老規劃：在職業生涯初期開始少量儲蓄，遠比臨近退休時大量補救要輕鬆得多。
教育基金籌備：利用孩子出生後的 $18$ 年複利期，可以大幅降低未來的教育負擔。
債務陷阱識別：理解為什麼信用卡逾期或高利貸會導致負債呈指數級爆炸，這是複利的負面影響項。
通貨膨脹對沖：理解物價上漲也是一種「負複利」，從而學會尋找高於通膨率的資產保值途徑。

常見誤區

誤區

只有本金巨大時複利才有意義

正解

錯誤。複利最核心的因子是時間。只要時間足夠長，即使月供數百元，也能靠幾十年的複利滾雪球產生巨大財富。

誤區

我晚開始 10 年，只要以後每年多投 10% 就能追平

正解

錯誤。由於時間是指數項，晚開始

10

年可能需要後期每年投入

3

倍甚至更多的資金才能追平，這種「補救」的成本極其高昂。

準備好了嗎？

現在你已經了解了基礎知識，開始動手實驗吧！

開始實驗開始練習

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