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Papel A4: O Segredo da Razão 2\sqrt{2} Guia

MatemáticaInicianteTempo de leitura: 3 min

Visão Geral

As dimensões do papel A4 (297mm×210mm297mm \times 210mm) não são números arbitrários; elas são uma combinação perfeita de beleza matemática e padrões industriais. O segredo central por trás disso reside na proporção 2\sqrt{2} (Proporção de Prata). Essa proporção única garante que o papel mantenha sua proporção de aspecto ao ser cortado ao meio, formando uma auto-similaridade perfeita.

Antecedentes

Se a proporção do papel não for 2\sqrt{2}, como 1:11:1 (quadrado) ou 3:23:2, a forma mudará drasticamente após ser dobrada. Apenas a proporção 2\sqrt{2} garante a "semelhança após dobrar", o que permite que o conteúdo do mesmo layout seja redimensionado livremente sem distorção.

Antecedentes

  • 1786: O cientista alemão Georg Christoph Lichtenberg propôs pela primeira vez as vantagens da proporção 2\sqrt{2} na dobradura de papel em uma carta a um amigo.
  • 1922: Walter Porstmann formulou esse conceito na norma alemã DIN 476, estabelecendo os tamanhos de papel das séries A, B e C.
  • 1975: Esse padrão foi adotado oficialmente como o padrão internacional ISO 216 e é atualmente usado pela maioria dos países do mundo (exceto América do Norte).

Conceitos-chave

Proporção de Prata (Silver Ratio)

ComprimentoLargura=2\frac{\text{Comprimento}}{\text{Largura}} = \sqrt{2}

A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414. Esta é a única proporção retangular que mantém sua proporção de aspecto original após ser cortada ao meio.

Auto-similaridade (Self-Similarity)

An∼An+1A_n \sim A_{n+1}

A forma local de um objeto é semelhante ao todo. Quer você olhe para o maior A0 ou para o menor A8, a "forma" (proporção de aspecto) deles é exatamente a mesma.

Padrão ISO 216

Area(A0)=1m2Area(A0) = 1 m^2

Padrão internacional de tamanho de papel baseado na norma industrial alemã DIN 476. Ele especifica que a área de A0 é 1m21m^2 e a proporção de aspecto é 2\sqrt{2}.

Fórmulas e Derivação

Derivação da Proporção de Aspecto Constante

LW=WL/2  ⟹  L2=2W2  ⟹  LW=2\frac{L}{W} = \frac{W}{L/2} \implies L^2 = 2W^2 \implies \frac{L}{W} = \sqrt{2}
Assumindo que a proporção de aspecto original é igual à proporção de aspecto após dobrar (a largura original se torna o novo comprimento, metade do comprimento original se torna a nova largura), resolver a equação resulta em 2\sqrt{2}.

Fórmula de Recorrência de Área

Area(An)=12n×1m2Area(A_n) = \frac{1}{2^n} \times 1 m^2
A área de A0 é 1, e para cada aumento no número, a área é reduzida pela metade.

Passos do Experimento

  1. 1

    Observe o Todo (A0)

    No início do experimento, um papel A0 completo é exibido. Observe que sua área é padronizada em 1m21m^2. Você consegue observar aproximadamente qual é a proporção entre seu lado longo e seu lado curto?
  2. 2

    Primeira Divisão (Observe a Mudança de Forma)

    Clique no botão "Split" para cortar o A0 ao meio em duas folhas A1. Observe atentamente: a relação relativa entre os lados longos e curtos do papel A1 recém-gerado parece muito semelhante ao papel A0 original?
  3. 3

    Divisão Recursiva (Encontrando Padrões)

    Continue clicando em "Split", de A1 para A2, depois para A3, A4. À medida que o papel fica menor, preste atenção ao valor "Aspect Ratio" no painel de controle direito. Esse valor mudou significativamente?
  4. 4

    Verificação da Proporção

    Continue dividindo o papel e observe o valor da proporção de aspecto no painel de controle. Não importa em que nível você divida (até A6), qual padrão você encontrou? Pense nisso, que condição uma proporção deve satisfazer para alcançar esse efeito de "forma inalterada após dobrar"?

Resultados de Aprendizagem

  • Entender profundamente o papel central da proporção 2\sqrt{2} na padronização do tamanho do papel.
  • Sentir intuitivamente a auto-similaridade e o processo de divisão recursiva de figuras geométricas.
  • Entender por que a imagem não é esticada nem deixa espaço em branco quando uma fotocopiadora reduz A3 para A4.

Aplicações Reais

  • Escalonamento de Fotocopiadora: Ao reduzir duas folhas de papel A4 lado a lado em uma folha de papel A4, ou reduzir A3 para A4, a proporção de escalonamento é exatamente 71%(1/2)71\% (1/\sqrt{2}), e o conteúdo é preenchido perfeitamente sem distorção.
  • Cálculo do Peso do Papel: Como a área de A0 é 1m21m^2, se a densidade do papel for 80g/m280g/m^2, então uma folha A0 pesa 80g80g. Uma A4 é 1/161/16 de A0, então o peso pode ser calculado por uma simples divisão (5g5g), o que é muito conveniente para o cálculo de postagem.
  • Desenho Técnico e Microfotografia: O escalonamento e arquivamento padronizados de desenhos técnicos dependem dessa invariância da proporção de aspecto.

Erros Comuns

Erro
O tamanho do papel A4 é um número inteiro (por exemplo, 30cm x 20cm).
Correto
Não. O tamanho de A4 297mm×210mm297mm \times 210mm é para obter o valor inteiro em milímetros o mais próximo possível da proporção 2\sqrt{2}, que é uma aproximação de uma proporção de número irracional.
Erro
O papel Carta dos EUA também tem a proporção 2\sqrt{2}.
Correto
Não. A proporção do papel Carta (8.5×118.5 \times 11 polegadas) é de cerca de 1.291.29. Após dobrar, a forma fica mais larga e não pode ser perfeitamente reduzida como o A4.

Leitura Adicional

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