A4 용지의 수학: $\sqrt{2}$ 비율 대화형 시뮬레이터 가이드

개요

A4 용지의 치수($297mm \times 210mm$)는 임의의 숫자가 아닙니다. 이는 수학적 아름다움과 산업 표준의 완벽한 결합입니다. 그 이면의 핵심 비밀은 $\sqrt{2}$ 비율(백은비)에 있습니다. 이 독특한 비율은 종이를 반으로 잘랐을 때 가로세로 비율이 변하지 않고 완벽한 자기 유사성을 형성하도록 보장합니다.

배경 지식

배경 지식

• 1786년: 독일 과학자 게오르크 크리스토프 리히텐베르크가 친구에게 보낸 편지에서 종이 접기에서 $\sqrt{2}$ 비율의 장점을 처음 제안했습니다.
• 1922년: 발터 포르스트만은 이 개념을 독일 DIN 476 표준으로 제정하여 A 시리즈, B 시리즈 및 C 시리즈 종이 크기를 확립했습니다.
• 1975년: 이 표준은 국제 표준 ISO 216으로 공식 채택되었으며 현재 전 세계 대다수 국가(북미 제외)에서 사용하고 있습니다.

핵심 개념

공식 및 유도

실험 단계

1. 1

   전체 관찰 (A0)

   실험 시작 시 완전한 A0 용지가 표시됩니다. 그 면적이 표준화된 $1m^2$라는 점에 유의하십시오. 긴 변과 짧은 변의 비율이 대략 어느 정도인지 관찰할 수 있습니까?
2. 2

   첫 번째 분할 (모양 변화 관찰)

   "Split" 버튼을 클릭하여 A0를 두 장의 A1 용지로 반으로 자릅니다. 주의 깊게 관찰하십시오: 새로 생성된 A1 용지의 긴 변과 짧은 변의 상대적 관계가 원래 A0 용지와 매우 유사해 보입니까?
3. 3

   재귀적 분할 (규칙 찾기)

   "Split"을 계속 클릭하여 A1에서 A2로, 그 다음 A3, A4로 진행합니다. 종이가 작아짐에 따라 오른쪽 제어 패널의 "Aspect Ratio"(가로세로 비율) 값에 주의를 기울이십시오. 이 값이 크게 변한 적이 있습니까?
4. 4

   비율 검증

   종이를 계속 분할하고 제어 패널의 가로세로 비율 값을 관찰하십시오. 어느 단계까지 분할하든(A6까지), 어떤 규칙을 발견했습니까? 생각해 보십시오. "접은 후에도 모양이 변하지 않는" 효과를 얻으려면 비율이 어떤 조건을 충족해야 합니까?

학습 목표

• 종이 크기 표준화에서 $\sqrt{2}$ 비율의 핵심적인 역할을 깊이 이해합니다.
• 기하학적 도형의 자기 유사성과 재귀적 분할 과정을 직관적으로 느낍니다.
• 복사기가 A3를 A4로 축소할 때 이미지가 늘어나거나 여백이 남지 않는 이유를 이해합니다.

실제 적용

• 복사기 배율 조정: 두 장의 A4 용지를 한 장의 A4 용지에 나란히 축소하거나 A3를 A4로 축소할 때 배율은 정확히 $71\% (1/\sqrt{2})$이며, 콘텐츠는 왜곡 없이 완벽하게 채워집니다.
• 종이 무게 계산: A0의 면적은 $1m^2$이므로 종이 밀도가 $80g/m^2$라면 A0 용지 한 장의 무게는 $80g$입니다. A4는 A0의 $1/16$이므로 무게는 간단한 나눗셈($5g$)으로 계산할 수 있어 우편 요금 계산에 매우 편리합니다.
• 엔지니어링 제도 및 마이크로 사진: 기술 도면의 표준화된 크기 조정 및 보관은 이러한 가로세로 비율의 불변성에 의존합니다.

일반적인 오해

추가 읽을거리

• ISO 216 - 위키백과
• Paper Sizes Explained