複利：積立投資ガイド

数学初級所要時間: 3 分

概要

「複利」とは何でしょうか？アインシュタインはかつてこれを「世界第8の奇跡」と呼んだと言われています。この実験では、この神秘的な力を深く探求します。毎月の定額投資（積立投資）をシミュレーションすることで、時間の経過とともに資産がゆっくりとした上昇から爆発的な成長へと変化する様子を直感的に観察できます。「元本投入」と「複利増加」の相互作用に焦点を当てて比較します。

背景

複利の概念は古代バビロン時代（紀元前約

1700

年）まで遡ることができます。当時の粘土板の記録には、家畜や穀物の債務に対する複利計算の原始的なルールが示されています。有名な伝説「チェス盤の小麦問題」も同様の指数関数的成長を示しています：最初のマスに小麦1粒を置き、次のマスごとに倍にすると、

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マス目には人類が生産不可能な天文学的な量になります。複利はまさにこの数学的な力が金融の世界で体現されたもので、時間を加速器として利用し、小さな種を巨大な富の森に変えます。

基本概念

元本（Principal）

最初に投資し、その後追加する資金。この実験では、毎月定額で貯蓄する金額を指します。

複利（Compound Interest）

A = P(1 + r)^n

利子が利子を生む。元本だけでなく、各期間の利子も次の期間には元本として利子を生み続けます。成長は時間とともに指数関数的に加速します。

不労所得（Passive Income）

このシミュレーションでは、長期間にわたって蓄積された利息収益を指します。複利による収益が積極的な積立額を超えると、資産成長の重要なマイルストーンに到達したことになります。

公式と導出

年金終価公式

FV = C \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

これは積立投資で最も一般的に使用される計算式です。

FV

は将来価値、

C

は各期の積立額、

r

は期ごとの利率、

n

は期間数です。

複利基本公式

A = P(1 + r)^n

一括投資または分割投資が複利サイクルの下でどのように増加するかを表します。

実験手順

1
貯蓄目標を設定する
コントロールパネルで「毎月の積立金額」を調整してください。毎月 $100$ 円多く貯蓄すると、 $30$ 年後の最終資産にどれだけの差が生まれるでしょうか？
2
収益率の変動をシミュレーション
「年間収益率」を調整してください。 $2\%$ （安定した貯蓄）と $10\%$ （長期ファンド）の曲線の傾きを比較してください。たった $1\%$ の違いでも、十分な時間があれば結果に大きな差が生じる理由を観察してください。
3
資産の転換点を探す
グラフを観察してください。濃い緑色は「元本総額」を、薄い緑色は「利息収益」を表します。あなたの設定では、利息収益が総資産の $50\%$ 以上を占め始めるのは何年目ですか？
4
爆発的成長期を捉える
「投資期間」を最大に設定してください。最後の $5$ 年間の成長額と最初の $10$ 年間の合計を比較してください。複利の「後発優位」を発見できましたか？

学習目標

数式 $A = P(1+r)^n$ を通じて、指数関数的成長の威力を直感的に理解する。
毎月の積立投資における資産蓄積パターンと利息比率の変化を習得する。
長期的な財務計画の意識を確立し、複利モデルにおける時間の巨大なレバレッジ効果を理解する。
異なる収益率環境が長期目標達成にどのように貢献するかを分析する方法を学ぶ。

応用例

年金計画：キャリアを通じた数十年の複利期間を活用し、少額の積み重ねで退休後の保障を実現。
子供の教育資金：早期に低リスクの積立投資を開始し、長期間にわたる財政的圧力を分散。
資産配分：異なる経済サイクルにおいて、複利がインフレに対抗する最も強力な武器としてどのように機能するかを理解。
信用コスト分析：複利が長期債務（クレジットカードの延滞など）をいかに負担困難にするかを逆の視点から理解。

よくある誤解

誤解

高収益率のプロジェクトだけが複利投資に値する

正解

誤り。複利の3要素は元本、利率、時間です。利率が適度であっても、時間が十分に長ければ、複利は依然として大きく確実な収益を生み出せます。

誤解

5年遅れて始めても、後からもっと投資すれば取り戻せる

正解

取り戻すのは非常に困難です。時間は公式の指数部分にあるため、初期の「複利の種」を失うと、早期の小さな投資に追いつくために後から数倍の元本投入が必要になります。

参考文献

準備はいいですか？

基礎知識を理解したら、インタラクティブな実験を始めてみましょう！

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