A4用紙の数学：$\sqrt{2}$比率の対話型シミュレーター ガイド

概要

A4用紙の寸法（$297mm \times 210mm$）は、適当な数字ではありません。それは数学的な美しさと工業規格の完璧な組み合わせです。その背後にある核心的な秘密は、$\sqrt{2}$ の比率（白銀比）にあります。この独特な比率は、用紙を半分に切っても縦横比が変わらず、完璧な自己相似性を形成することを保証します。

背景

背景

• 1786年：ドイツの科学者 ゲオルク・クリストフ・リヒテンベルク が友人に宛てた手紙の中で、紙を折る際の $\sqrt{2}$ 比率の利点を初めて提案しました。
• 1922年：ヴァルター・ポルストマン がこの概念をドイツの DIN 476 規格として策定し、Aシリーズ、Bシリーズ、Cシリーズの用紙サイズを確立しました。
• 1975年：この規格は国際規格 ISO 216 として正式に採用され、現在、世界の大多数の国（北米を除く）で使用されています。

基本概念

公式と導出

実験手順

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   全体像を観察する (A0)

   実験の開始時には、完全なA0用紙が表示されます。その面積は標準化された $1m^2$ であることに注意してください。その長辺と短辺の比率はおよそどのくらいか観察できますか？
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   最初の分割（形状変化の観察）

   「Split」ボタンをクリックして、A0を2枚のA1用紙に半分に切ります。よく観察してください：新しく生成されたA1用紙の長辺と短辺の相対的な関係は、元のA0用紙と非常によく似ているように見えますか？
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   再帰的な分割（法則を見つける）

   「Split」をクリックし続け、A1からA2、そしてA3、A4へと進みます。用紙が小さくなるにつれて、右側のコントロールパネルにある「Aspect Ratio」（縦横比）の値に注目してください。この値は大きく変化しましたか？
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   比率の検証

   用紙を分割し続け、コントロールパネルの縦横比の値を観察してください。どのレベルまで分割しても（A6まで）、どのような法則が見つかりましたか？考えてみてください。「折っても形が変わらない」という効果を実現するには、比率がどのような条件を満たす必要がありますか？

学習目標

• 用紙サイズの標準化における $\sqrt{2}$ 比率の核心的な役割を深く理解する。
• 幾何学図形の自己相似性と再帰的な分割プロセスを直感的に感じる。
• コピー機でA3をA4に縮小しても、画像が引き伸ばされたり余白ができたりしない理由を理解する。

応用例

• コピー機のスケーリング：2枚のA4用紙を並べて1枚のA4用紙に縮小する場合、またはA3をA4に縮小する場合、縮小率はちょうど $71\% (1/\sqrt{2})$ であり、コンテンツは歪みなく完全に収まります。
• 用紙重量の計算：A0の面積は $1m^2$ なので、紙の密度が $80g/m^2$ の場合、A0用紙1枚の重さは $80g$ です。A4はA0の $1/16$ なので、重さは単純な割り算（$5g$）で計算でき、郵便料金の計算に非常に便利です。
• 工学的製図とマイクロ写真：技術図面の標準化されたスケーリングとアーカイブは、この縦横比の不変性に依存しています。

よくある誤解

参考文献

• ISO 216 - Wikipedia
• Paper Sizes Explained