SciSimulator
Kembali ke Eksperimen

Papan Galton Panduan

MatematikaLanjutanWaktu baca: 3 menit

Ikhtisar

Apakah hasil dari peristiwa acak yang tak terhitung jumlahnya benar-benar tidak dapat diprediksi? Papan Galton (Galton Board) mengungkapkan kebenaran yang menakjubkan: ketika banyak pilihan acak kecil (kiri atau kanan) terakumulasi, mereka secara spontan membentuk 'kurva lonceng' yang sangat teratur dan stabil — yaitu Distribusi Normal. Ini adalah representasi visual dan intuitif dari 'Teorema Limit Pusat' yang terkenal dalam statistik.

Latar Belakang

Papan Galton pertama kali diperkenalkan oleh cendekiawan Inggris Sir Francis Galton dalam bukunya tahun 1889 *Natural Inheritance*. Galton merancang alat ini untuk mendemonstrasikan bagaimana hasil kumulatif dari Percobaan Bernoulli berevolusi menjadi Distribusi Normal. Ia kagum dengan 'keindahan keteraturan' yang muncul secara spontan dari 'kekacauan kosmik' dan menganggapnya sebagai hukum alam yang universal. Eksperimen ini bukan hanya landasan statistik, tetapi juga menjelaskan mengapa tinggi badan manusia, nilai ujian, dan berbagai kesalahan pengukuran sebagian besar mengikuti pola distribusi simetris ini.

Konsep Utama

Percobaan Bernoulli

P(K)=P(R)=0.5P(\text{K}) = P(\text{R}) = 0.5

Eksperimen acak dengan tepat dua kemungkinan hasil (berhasil atau gagal, kiri atau kanan). Dalam Papan Galton, setiap paku mewakili titik percobaan independen.

Distribusi Binomial

P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

Distribusi probabilitas diskrit yang menggambarkan jumlah keberhasilan dalam nn percobaan independen. Distribusi bola di bak penampung di bagian bawah pada dasarnya bersifat binomial.

Distribusi Normal

Juga dikenal sebagai distribusi Gaussian atau kurva lonceng. Jika jumlah percobaan nn cukup besar, distribusi binomial akan mendekati distribusi normal kontinu.

Teorema Limit Pusat (CLT)

Teorema utama dalam statistik: distribusi dari jumlah variabel acak independen dalam jumlah besar cenderung menuju distribusi normal, terlepas dari distribusi aslinya.

Formula & Penurunan

Fungsi densitas probabilitas distribusi normal

f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
Di mana μ\mu adalah rata-rata (pusat) dan σ\sigma adalah standar deviasi (lebar/penyebaran) kurva.

Langkah Eksperimen

  1. 1

    Inisialisasi parameter

    Sesuaikan 'Jumlah Baris' dan 'Total Bola'. Jika jumlah baris meningkat dari 1010 menjadi 5050, apakah Anda memprediksi distribusi di bagian bawah akan lebih halus atau lebih berantakan?
  2. 2

    Pengamatan mikro-acak

    Klik 'Mulai'. Lacak jalur satu bola. Anda akan menemukan bahwa pantulannya pada setiap paku sama sekali tidak dapat diprediksi. Karena jalur individu bersifat acak, mengapa prediksi secara keseluruhan dimungkinkan?
  3. 3

    Akumulasi pola

    Setelah ratusan bola terakumulasi, amati tinggi bak di bagian tengah. Mengapa hanya ada sedikit bola di bak tepi? Cobalah jelaskan dari perspektif probabilitas.
  4. 4

    Verifikasi kecocokan teoritis

    Nyalakan 'Tampilkan Kurva Normal'. Amati seberapa cocok tinggi bak simulasi dengan kurva teoritis merah. Apakah kecocokannya membaik atau memburuk seiring bertambahnya ukuran sampel?

Hasil Pembelajaran

  • Memahami logika ilmiah tentang bagaimana proses acak berubah menjadi pola statistik deterministik melalui akumulasi masif.
  • Memperjelas jalur matematis dari Distribusi Binomial ke Distribusi Normal (kurva lonceng).
  • Menghargai universalitas Teorema Limit Pusat dalam menjelaskan fenomena alam, sosial, dan pengukuran ilmiah.
  • Membangun nilai-nilai inti statistik: menghargai keacakan individu sambil menguasai kepastian kolektif.

Aplikasi Nyata

  • Evaluasi Pendidikan: Nilai dalam ujian skala besar biasanya mengikuti distribusi normal.
  • Kontrol Kualitas Industri: Pola penyimpangan dimensi pada suku cadang manufaktur digunakan untuk memantau stabilitas lini produksi.
  • Perdagangan Keuangan: Pemodelan fluktuasi kecil pada harga saham (dasar model gerak Brown).
  • Genetika Biologi: Menjelaskan mekanisme distribusi ciri-ciri populasi seperti tinggi badan dan kecerdasan.

Kesalahpahaman Umum

Salah
Karena distribusinya paling tinggi di tengah, jika saya menjatuhkan satu bola, bola itu pasti akan jatuh ke bak tengah.
Benar
Salah. Untuk satu sampel, bola bisa jatuh di mana saja (acak); probabilitas hanya menggambarkan kemungkinan. Pola tersebut hanya muncul dengan jumlah bola yang 'besar'.
Salah
Jika sebuah bola telah memantul ke kiri beberapa kali berturut-turut, kemungkinan besar bola tersebut akan memantul ke kanan pada waktu berikutnya.
Benar
Salah. Ini adalah 'Kekeliruan Penjudi'. Setiap pantulan adalah peristiwa independen, tidak dipengaruhi oleh riwayat sebelumnya; probabilitasnya tetap 50%50\%.

Bacaan Lebih Lanjut

Siap untuk memulai?

Sekarang setelah Anda memahami dasar-dasarnya, mulailah eksperimen interaktif!

Mulai EksperimenMulai Kuis