SciSimulator
Kembali ke Eksperimen

Kertas A4: Rahasia Rasio 2\sqrt{2} Panduan

MatematikaPemulaWaktu baca: 3 menit

Ikhtisar

Dimensi kertas A4 (297mm×210mm297mm \times 210mm) bukanlah angka sembarangan; mereka adalah kombinasi sempurna antara keindahan matematika dan standar industri. Rahasia utama di baliknya terletak pada rasio 2\sqrt{2} (Rasio Perak). Rasio unik ini memastikan bahwa kertas mempertahankan rasio aspeknya saat dipotong menjadi dua, membentuk kesamaan diri yang sempurna.

Latar Belakang

Jika rasio kertas bukan 2\sqrt{2}, seperti 1:11:1 (persegi) atau 3:23:2, bentuknya akan berubah drastis setelah dilipat. Hanya rasio 2\sqrt{2} yang menjamin "kesamaan setelah dilipat", yang memungkinkan konten dengan tata letak yang sama untuk diskalakan secara bebas tanpa distorsi.

Latar Belakang

  • 1786: Ilmuwan Jerman Georg Christoph Lichtenberg pertama kali mengusulkan keuntungan rasio 2\sqrt{2} dalam pelipatan kertas dalam surat kepada seorang teman.
  • 1922: Walter Porstmann merumuskan konsep ini ke dalam standar Jerman DIN 476, menetapkan ukuran kertas seri A, seri B, dan seri C.
  • 1975: Standar ini secara resmi diadopsi sebagai standar internasional ISO 216 dan saat ini digunakan oleh sebagian besar negara di dunia (kecuali Amerika Utara).

Konsep Utama

Rasio Perak (Silver Ratio)

PanjangLebar=2\frac{\text{Panjang}}{\text{Lebar}} = \sqrt{2}

Rasio panjang terhadap lebar persegi panjang adalah 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414. Ini adalah satu-satunya rasio persegi panjang yang mempertahankan rasio aspek aslinya setelah dipotong menjadi dua.

Kesamaan Diri (Self-Similarity)

An∼An+1A_n \sim A_{n+1}

Bentuk lokal suatu objek mirip dengan keseluruhan. Baik Anda melihat A0 terbesar atau A8 terkecil, "bentuk" (rasio aspek) mereka persis sama.

Standar ISO 216

Area(A0)=1m2Area(A0) = 1 m^2

Standar ukuran kertas internasional berdasarkan standar industri Jerman DIN 476. Ini menetapkan bahwa luas A0 adalah 1m21m^2 dan rasio aspeknya adalah 2\sqrt{2}.

Formula & Penurunan

Penurunan Rasio Aspek Konstan

LW=WL/2  ⟹  L2=2W2  ⟹  LW=2\frac{L}{W} = \frac{W}{L/2} \implies L^2 = 2W^2 \implies \frac{L}{W} = \sqrt{2}
Dengan asumsi rasio aspek asli sama dengan rasio aspek setelah dilipat (lebar asli menjadi panjang baru, setengah dari panjang asli menjadi lebar baru), menyelesaikan persamaan menghasilkan 2\sqrt{2}.

Rumus Rekursi Luas

Area(An)=12n×1m2Area(A_n) = \frac{1}{2^n} \times 1 m^2
Luas A0 adalah 1, dan untuk setiap penambahan nomor, luasnya berkurang setengah.

Langkah Eksperimen

  1. 1

    Amati Keseluruhan (A0)

    Pada awal percobaan, kertas A0 lengkap ditampilkan. Harap dicatat bahwa luasnya adalah 1m21m^2 yang distandarisasi. Bisakah Anda mengamati kira-kira berapa rasio sisi panjang terhadap sisi pendeknya?
  2. 2

    Pemisahan Pertama (Amati Perubahan Bentuk)

    Klik tombol "Split" untuk memotong A0 menjadi dua lembar A1. Harap amati dengan cermat: Apakah hubungan relatif antara sisi panjang dan pendek dari kertas A1 yang baru dihasilkan terlihat sangat mirip dengan kertas A0 asli?
  3. 3

    Pembagian Rekursif (Menemukan Pola)

    Terus klik "Split", dari A1 ke A2, lalu ke A3, A4. Saat kertas menjadi lebih kecil, harap perhatikan nilai "Aspect Ratio" di panel kontrol kanan. Apakah nilai ini pernah berubah secara signifikan?
  4. 4

    Verifikasi Rasio

    Terus bagi kertas dan amati nilai rasio aspek di panel kontrol. Tidak peduli sampai level apa Anda membagi (hingga A6), pola apa yang Anda temukan? Pikirkanlah, kondisi apa yang harus dipenuhi oleh suatu rasio untuk mencapai efek "bentuk tidak berubah setelah dilipat" ini?

Hasil Pembelajaran

  • Memahami secara mendalam peran utama rasio 2\sqrt{2} dalam standarisasi ukuran kertas.
  • Merasakan kesamaan diri dan proses pembagian rekursif dari bangun geometri secara intuitif.
  • Memahami mengapa gambar tidak terentang atau menyisakan ruang putih saat mesin fotokopi memperkecil A3 menjadi A4.

Aplikasi Nyata

  • Penskalaan Mesin Fotokopi: Saat memperkecil dua lembar kertas A4 berdampingan ke satu lembar kertas A4, atau memperkecil A3 menjadi A4, rasio penskalaan tepat 71%(1/2)71\% (1/\sqrt{2}), dan konten terisi sempurna tanpa distorsi.
  • Perhitungan Berat Kertas: Karena luas A0 adalah 1m21m^2, jika kepadatan kertas adalah 80g/m280g/m^2, maka satu lembar A0 beratnya 80g80g. Satu A4 adalah 1/161/16 dari A0, jadi beratnya dapat dihitung dengan pembagian sederhana (5g5g), yang sangat nyaman untuk perhitungan ongkos kirim.
  • Gambar Teknik dan Mikrofotografi: Penskalaan dan pengarsipan standar gambar teknik bergantung pada invariansi rasio aspek ini.

Kesalahpahaman Umum

Salah
Ukuran kertas A4 adalah bilangan bulat (misalnya, 30cm x 20cm).
Benar
Tidak. Ukuran A4 297mm×210mm297mm \times 210mm adalah untuk mendapatkan nilai milimeter bulat terdekat dengan rasio 2\sqrt{2}, yang merupakan perkiraan rasio bilangan irasional.
Salah
Kertas Letter AS juga memiliki rasio 2\sqrt{2}.
Benar
Tidak. Rasio kertas Letter (8.5×118.5 \times 11 inci) adalah sekitar 1.291.29. Setelah dilipat, bentuknya menjadi lebih lebar dan tidak dapat diperkecil dengan sempurna seperti A4.

Bacaan Lebih Lanjut

Siap untuk memulai?

Sekarang setelah Anda memahami dasar-dasarnya, mulailah eksperimen interaktif!

Mulai EksperimenMulai Kuis