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Papier A4 : Le Secret du Ratio 2\sqrt{2} Guide

MathématiquesDébutantTemps de lecture: 4 min

Aperçu

Les dimensions du papier A4 (297mm×210mm297mm \times 210mm) ne sont pas des nombres arbitraires ; elles sont une combinaison parfaite de beauté mathématique et de normes industrielles. Le secret central réside dans le rapport 2\sqrt{2} (Nombre d'Argent). Ce rapport unique garantit que le papier conserve son rapport d'aspect lorsqu'il est coupé en deux, formant une auto-similarité parfaite.

Contexte

Si le rapport du papier n'est pas 2\sqrt{2}, comme 1:11:1 (carré) ou 3:23:2, la forme changera radicalement après le pliage. Seul le rapport 2\sqrt{2} garantit la "similarité après pliage", ce qui permet au contenu de la même mise en page d'être mis à l'échelle librement sans distorsion.

Contexte

  • 1786 : Le scientifique allemand Georg Christoph Lichtenberg a proposé pour la première fois les avantages du rapport 2\sqrt{2} dans le pliage du papier dans une lettre à un ami.
  • 1922 : Walter Porstmann a formulé ce concept dans la norme allemande DIN 476, établissant les formats de papier des séries A, B et C.
  • 1975 : Cette norme a été officiellement adoptée comme norme internationale ISO 216 et est actuellement utilisée par la plupart des pays du monde (sauf l'Amérique du Nord).

Concepts clés

Nombre d'Argent (Silver Ratio)

LongueurLargeur=2\frac{\text{Longueur}}{\text{Largeur}} = \sqrt{2}

Le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle est 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414. C'est le seul rapport rectangulaire qui conserve son rapport d'aspect d'origine après avoir été coupé en deux.

Auto-similarité (Self-Similarity)

An∼An+1A_n \sim A_{n+1}

La forme locale d'un objet est similaire au tout. Que vous regardiez le plus grand A0 ou le plus petit A8, leur "forme" (rapport d'aspect) est exactement la même.

Norme ISO 216

Area(A0)=1m2Area(A0) = 1 m^2

Norme internationale de format de papier basée sur la norme industrielle allemande DIN 476. Elle précise que l'aire de A0 est de 1m21m^2 et le rapport d'aspect est 2\sqrt{2}.

Formules et dérivation

Dérivation du Rapport d'Aspect Constant

LW=WL/2  ⟹  L2=2W2  ⟹  LW=2\frac{L}{W} = \frac{W}{L/2} \implies L^2 = 2W^2 \implies \frac{L}{W} = \sqrt{2}
En supposant que le rapport d'aspect d'origine est égal au rapport d'aspect après pliage (la largeur d'origine devient la nouvelle longueur, la moitié de la longueur d'origine devient la nouvelle largeur), la résolution de l'équation donne 2\sqrt{2}.

Formule de Récurrence de l'Aire

Area(An)=12n×1m2Area(A_n) = \frac{1}{2^n} \times 1 m^2
L'aire de A0 est de 1, et pour chaque augmentation de numéro, l'aire est réduite de moitié.

Étapes de l'expérience

  1. 1

    Observer le Tout (A0)

    Au début de l'expérience, un papier A0 complet est affiché. Veuillez noter que son aire est normalisée à 1m21m^2. Pouvez-vous observer approximativement quel est le rapport entre son côté long et son côté court ?
  2. 2

    Première Division (Observer le Changement de Forme)

    Cliquez sur le bouton "Split" pour couper le A0 en deux feuilles A1. Observez attentivement : la relation relative entre les côtés longs et courts du papier A1 nouvellement généré semble-t-elle très similaire au papier A0 d'origine ?
  3. 3

    Division Récursive (Recherche de Modèles)

    Continuez à cliquer sur "Split", de A1 à A2, puis à A3, A4. À mesure que le papier devient plus petit, faites attention à la valeur "Aspect Ratio" dans le panneau de contrôle de droite. Cette valeur a-t-elle changé de manière significative ?
  4. 4

    Vérification du Rapport

    Continuez à diviser le papier et observez la valeur du rapport d'aspect dans le panneau de contrôle. Quel que soit le niveau auquel vous divisez (jusqu'à A6), quel modèle avez-vous trouvé ? Pensez-y, quelle condition un rapport doit-il satisfaire pour obtenir cet effet de "forme inchangée après pliage" ?

Objectifs d'apprentissage

  • Comprendre profondément le rôle central du rapport 2\sqrt{2} dans la normalisation de la taille du papier.
  • Ressentir intuitivement l'auto-similarité et le processus de division récursive des figures géométriques.
  • Comprendre pourquoi l'image n'est ni étirée ni laissée avec un espace blanc lorsqu'un photocopieur réduit A3 en A4.

Applications réelles

  • Mise à l'échelle du Photocopieur : Lors de la réduction de deux feuilles de papier A4 côte à côte sur une feuille de papier A4, ou de la réduction de A3 en A4, le rapport de mise à l'échelle est exactement de 71%(1/2)71\% (1/\sqrt{2}), et le contenu est parfaitement rempli sans distorsion.
  • Calcul du Poids du Papier : Étant donné que l'aire de A0 est de 1m21m^2, si la densité du papier est de 80g/m280g/m^2, alors une feuille A0 pèse 80g80g. Un A4 est 1/161/16 de A0, donc le poids peut être calculé par une simple division (5g5g), ce qui est très pratique pour le calcul des frais de port.
  • Dessin Technique et Microphotographie : La mise à l'échelle et l'archivage normalisés des dessins techniques reposent sur cette invariance du rapport d'aspect.

Idées reçues

Erreur
La taille du papier A4 est un entier (par exemple, 30cm x 20cm).
Correct
Non. La taille de A4 297mm×210mm297mm \times 210mm est pour obtenir la valeur millimétrique entière la plus proche du rapport 2\sqrt{2}, qui est une approximation d'un rapport de nombre irrationnel.
Erreur
Le papier US Letter est aussi un rapport 2\sqrt{2}.
Correct
Non. Le rapport du papier Letter (8.5×118.5 \times 11 pouces) est d'environ 1.291.29. Après pliage, la forme devient plus large et ne peut pas être parfaitement réduite comme le A4.

Lectures complémentaires

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